Pesertadidik diminta untuk mengamati dan menyebutkan unsur-unsur limas. Guru membuka limas sehingga terbentuk jaring-jaring limas. Peserta didik diberikan kesempatan untuk bertanya. Guru menyajikan gambar limas dan gambar jaring-jaring limas. Guru menjelaskan cara menentukan luas permukaan limas. Soal seperti ini maka pertama-tama kita gambar terlebih dahulu ABC dengan siku-siku di a. Karena HP merupakan segitiga siku-siku maka kita bisa cari panjang BC phytagoras HP di sini kita tahu panjangnya 2 cm AC 4 cm dan AC 8 cm untuk mencari Pythagoras BC = akar dari X kuadrat ditambah y kuadrat = P kuadrat 2 kuadrat 7 kuadrat 4 kuadratperkecambahan AC kuadrat 4 + 16 √ 20 atau 2 √ 54 * 54 Pertanyaan. Diketahui limas T.ABC dengan TA tegak lurus bidang ABC. Panjang rusuk AB,AC,BC, dan TA berturut-turut adalah 3cm, 4cm, 5cm, dan 9/5 cm. Jika α sudut antara bidang BCT dengan bidang ABC, maka nilai cos α adalah . Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT adalah panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT. Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD). B D = A B 2 + A D 2 = 3 2 + 3 2 B D = 3 2. Diberikan limas segiempat T.ABCD dengan alas persegi, rusuk alas =2dm dan rusuk tegak = sqrt3dm. Maka jarak titik A ke TC adalah Perhatikan gambar di bawah ini! Berdasarkan gambar di atas, luas permukaan limas tersebut adalah. Kemudian pada soal diketahui bahwa luas permukaan limas adalah 756 . Maka diperoleh. Jadi, tinggi sisi tegak limas tersebut adalah 12 cm. Baca pembahasan lengkapnya dengan daftar atau masuk akun Ruangguru. GRATIS! PDF | Desain Dikatis Materi Luas dan Volume Limas | Find, read and cite all the research you need on ResearchGate Segiempat pada Gambar b disebut dengan persegi-panjang. Apa yang menarik dari bangun datar tersebut berkait dengan (1) panjang sisinya, (2) besar sudutnya, (3) kelilingnya, dan (4) luas daerahnya atau luasnya. Keliling persegi- panjang pada Gambar b adalah 4 + 6 + 4 + 6 = 20 satuan panjang; sedangkan luas daerahnya atau luasnya = 24 satuan Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Matematika IPA jenjang pendidikan SMA untuk pokok bahasan Dimensi Tiga yang meliputi jarak atau sudut antara titik, garis dan bidang. Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan : 1. UN 2008. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 4 cm dan TA = 5 cm seperti pada gambar jarak titik A ke TC adalah Jawaban paling sesuai dengan pertanyaan Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang AB = BC = 8 cm dan TA = 6 cm. J t abcd adalah limas beraturan titik k terletak pada pertengahan dan l terletak pada pertengahan titik e adalah pertengahan diagonal AC dan BD Garis yang sejajar KL adalah jika menemukan soal seperti ini Hal pertama yang harus kita lakukan adalah menggambar limas nya beserta titik-titik yang telah diketahui kemudian kita juga harus mengetahui syarat dua garis itu dapat disebut sejajar dua garis Perhatikan limas T.ABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm dan panjang TP = 15 cm. Volume limas tersebut adalah - 15488538 Oke, perhatikan seksama yuk penjelasannya. Garis BD dan FH itu terletak di bidang yang sama, yaitu BDHF dan nggak punya titik persekutuan, jadi mereka nggak bersilangan. Kemudian, garis BD dan BF terletak pada bidang yang sama juga, yaitu bidang BDHF dan punya titik persekutuan di titik B. Jadi, kedua garis tersebut tidak bersilangan. Pada soal dikatakan ada kubus abcd efgh dan yang ditanya adalah jarak bidang bde, dan cfh pertama-tama kita gambar terlebih dahulu kubus dan bidang sebenarnya bidangnya berbentuk segitiga sama sisi di mana memiliki tiga sudut sama sama setiap Sisinya adalah diagonal sisi berat semua untuk lebih mudah membuat siswa alisasi kan bidang-bidangnya sebagai kita ubah saja kita tukar posisi titik A hk6QFC. PembahasanLimas ABCD pada gambar merupakan limas segitiga beraturan. Maka, alasnya berupa segitiga sama sisi BC = CD = BD = semua rusuk tegaknya sama AB = AC = AD = bidang tegaknya berupa segitiga sama kaki yang kongruen. Jarak A ke garis BE dapat ditentukan dengan perbandingan luas segitiga ABE. Tentukan dulu panjang BE menggunakan segitiga BED dan AE menggunakan segitiga AED Sehingga Jadi, Jawaban yang tepat adalah ABCD pada gambar merupakan limas segitiga beraturan. Maka, Jarak A ke garis BE dapat ditentukan dengan perbandingan luas segitiga ABE. Tentukan dulu panjang BE menggunakan segitiga BED dan AE menggunakan segitiga AED Sehingga Jadi, Jawaban yang tepat adalah B. perhatikan gambar disamping dari gambar disamping diketahui limas persegi T. abcd ab=bc=10cm dan tinggi limas=12cm²luas permukaan limas tersebut adalah 1. perhatikan gambar disamping dari gambar disamping diketahui limas persegi T. abcd ab=bc=10cm dan tinggi limas=12cm²luas permukaan limas tersebut adalah 2. perhatikan gambar Limas T. ABCD disamping mempunyai rusuk alas 16 CM Dan tinggi 15 CM volume Lima's T. ABCD adalah3. Perhatikan gambar Limas berikut. pada gambar di samping AT ABCD, tentukan volume T. ABCDTolong ya kak dengan cara dan rumusnya^_^​4. limas T ABCD di samping! Alasnya berbentuk panjang rusuk alas 10cm dan TO = 12cm maka jumlah luas sisitegaknya adalah ...A. 260 cm²B. 240 cm²C. 160 cm²D. 140 cm²​5. Perhatikan limas persegi di samping!Jika tinggi TO= 12 cm dan keliling alas ABCD= 40 cm,maka Luas permukaan limas T ABCD adalah ... cmA. 360C. 385B. 380D. 396​6. Limas T ABCD di samping terbuat dari besi. Panjang besiyang diperlukan untuk membuat limas tersebut adalah...cm18 cmA. 112B. 122C. 132D. 172Ak10 cm15 cmB22 cmPerhatikan gambar!Panjang seluruh rusuk prisma di samping adalah...cmA. 183C. 240B. 196D. 32030 cm13 cm12 cm​7. perhatikan gambar di samping T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Tentukanlah A. Pasangan garis yg sejajar B Pasangan garis yg berpotongan C. Pasangan garis yg bersilangan D. Garis-garis yg horisontal E. Garis yg vertikal​8. perhatikan limas T. ABCD di samping. alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 14 cm dan panjang TO= 24 cm. panjang TE adalah9. soal di bawah ini dengan benar!1. Gunakan teorema pythagoras untuk menentukan nilai x !152. Tentukan jenis segitiga jika diketahui ukuran sisi-sisi di bawah cm, 14cm, cm, 15cm, 17cm3. Diketahui segitiga ABC siku- siku di B dengan panjang sisi AC - 6v2 cm, < 10. perhatikan limas dengan alas berbentuk persegi panjang diketahui tinggi limas t abcd adalah 9 cm Tentukan besar volume dan luas permukaan limas di samping​JawabanVolume = [tex]864 \ cm {}^{3} [/tex]Luas permukaan =[tex]684 cm {}^{2} [/tex] 11. perhatikan limas T. abcd di samping. alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 14cm dan panjang TO 24cm. panjang TE adalah... Kelas 8 Mapel MatematikaKategori Bab 5 Teorama PythagorasKata kunci limas, persegi panjang, panjang TEKode [Kelas 8 Matematika Bab 5 Teorama Pythagoras]Penjelasan Untuk menjawab soal diatas kita bisa gunakan bisa dilihat pada lampiran .Diketahui AB = 14 cmOE = 1/2 × AB = 1/2 × 14 cm = 7 cmTO = 24 cmDitanya Panjang TE =... ?Jawab TE² = TO² + OE² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625 TE = √625 = 25 cmJadi panjang TE adalah 25 cm ASoal tentang pythagoras bisa disimak Bola A dan B yg digantung → panjang ABCD → bermanfaat 12. perhatikan limas T. ABCD di samping alas limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 14 cm dan pajang TO=24 cm. panjang TE adalah A. 25 cmmaaf klo slh...7²+24²=...²576+49=625√625=25Panjang TE adalah 25cm 13. Perhatikan gambar disamping limas t. abcd mempunyai alas berbentuk persegi dengan panjang rusuk alas 8 cm diketahui tinggi limas adalah 3 cm luas permukaan limas tersebut adalah b. c. d. dengan langkah-langkahAB=1/2×8=4cmAB²=AD²+AC²=3²+4²=25AB=√25=5cmLuas ABC=1/2×alas×tinggi=1/2×8×5=20cm²Luas sisi Limas L=luas alas+luas selimut=8×8+4×20=64+80=144cm²Kelas 8 Mapel Matematika Kategori Bab 8 - Bangun Ruang Sisi Datarkata kunci volume limas, pythagorasKode [Kelas 8 Matematika Bab 8 - Bangun Ruang Sisi Datar]Pembahasan Diketahui Limas persegi panjang T ABCDAB = 32 cmAD = BC = 30 cmTA = 25 cmDitanya Volume limas T ABCD ?Jawab Untuk gambar bisa dilihat pada lampiranTerlebih dulu kita cari panjang AC dengan menggunakan pythagorasAC² = AB² + BC² = 1024 + 900 = 1924 AC = √1924 = 43,86 cmKita akan mencari tinggi TOAO = 1/2 × AC = 1/2 × 43,86 cm = 21,93 cmTO² = TA² - AO² = 25² - 21,93² = 625 - 480,92 = 144,08 TO = √144,08 = 12,003 TO = 12 cm dibulatkanMenentukan volume limasVolume limas T ABCD = 1/3 × AB × BC × TO = 1/3 × 32 cm × 30 cm × 12 cm = 32 × 10 × 12 cm³ = 3840 cm³Jadi volume limas T ABCD adalah 3840 cm³Soal yang berkaitan dengan Limas bisa disimak Luas permukaan limas → bermanfaat Desain Dikatis Materi Luas dan Volume LimasFigures - uploaded by Sulistiawati -Author contentAll figure content in this area was uploaded by Sulistiawati -Content may be subject to copyright. Discover the world's research25+ million members160+ million publication billion citationsJoin for free 131 DESAIN DIDAKTIS LIMAS PENALARAN MATEMATIS Materi Prasayarat 1. Teorema Pythagoras 2. Segitiga dan Poligon 3. Luas Segitiga dan Luas Poligon 4. Kubus, Balok, dan Prisma A. Konsep Limas Pengantar Pernahkah kamu melihat gambar-gambar seperti ini? Menyerupai apakah gambar-gambar tersebut? Gambar 1. Dapatkah kamu memberikan contoh lain yang mirip dengan gambar di atas? 1. Definis Limas Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah alas berbentuk poligon dan beberapa bidang tegak yang berbentuk segitiga sama kaki beraturan dengan sisi alas segitiga berhimpit dengan sisi pada bidang alas dan puncak segitiga saling bersekutu di satu titik yang diberi nama titik puncak. Pemberian nama pada limas sama seperti pada prisma yaitu tergantung pada banyaknya sisi pada alas segi-n. Berikut ini beberapa contoh limas Lampiran 132 Limas segitiga Limas segiempat Limas segilima Gambar 2. 2. Unsur-unsur Limas Gambar 3. Secara umum, unsur-unsur yang dimiliki oleh oleh sebuah limas sebagai berikut a Sisi/Bidang Perhatikan gambar limas di atas ! Dari gambar, terlihat bahwa limas tersebut memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga. Sisi yang terbentuk adalah sisi ABCD sisi alas, ABT sisi depan, DCT sisi belakang, BCT sisi samping kiri, dan ADT sisi samping kanan. b Rusuk 133 Perhatikan kembali limas di atas ! limas tersebut memiliki 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah AB, BC, CD, dan DA. Adapun rusuk tegaknya adalah AT, BT, CT, dan DT. c Titik Sudut Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak titik yang letaknya di atas. Perhatikan limas pada gambar 1 dan gambar 2. Limas segitiga memiliki 4 titik sudur, limas segiempat memiliki 5 titik sudut, dan limas segilima memiliki 6 titik sudut. Dari uraian di atas dapatkah kalian membuat sebuah generalisasi ? Jenis Limas Banyak sisi Banyak rusuk Banyak titik sudut Limas segitiga 4 6 4 Limas segiempat ... 8 4 Limas segilima ... ... ... . . . . . . . . . . . . Limas segi-n ... ... ... 3. Jenis–Jenis Limas a. Berdasarkan bentuk alas limas dinamai limas segi-n Contoh limas segitiga, limas segiempat, dan lain-lain b. Berdasarkan keteraturan bidang alas dan kedudukan titik puncaknya, limas dibedakan menjadi limas beraturan dan limas sembarang 1 Limas beraturan adalah limas yang bentuk alasnya berbentuk segi-n beraturan, dan proyeksi titik puncaknya berada tepat ditengah bidang alas Contoh limas segitiga beraturan, limas segiempat beraturan 2 Limas sembarang memiliki bidang alas berbentuk segi-n yang tidak beraturan dan proyeksi titik puncaknya sembarang Contoh limas segitiga sembarang, limas segitiga siku-siku 134 c. Berdasarkan tingginya limas dibedakan menjadi limas tegak dan limas siku-siku 4. Jaring-jaring Limas a. Limas segitiga Gambar 4. b. Limas segiempat Gambar 5. c. Limas segilima Gambar 6. B. Konsep Alas dan Tinggi Limas 135 Gambar 7. Pada limas dan segitiga ABC dan segiempat ABCD adalah bidang alas dan tingginya adalah garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus bidang alas. Demikian juga untuk limas dan limas 136 C. Konsep Luas dan Volume Limas 1. Luas Limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? MASALAH ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q, R, dan S berada di tengah-tengah rusuk. Kubus tersebut memuat prisma, dapatkah kamu menyebutkan prisma apa saja? Jika ya dapatkah kamu menentukan luas prisma yang kamu temukan ? S R P Q 137 Luas limas dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas limas dan luas sisi-sis tegaknya. Sebagai contoh, a Perhatikan limas segitiga di bawah ini ! Gambar 8. Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TC, TB, dan TA, maka kita peroleh jaring-jaring sebagai berikut Luas limas = luas TAB + luas TAC + luas TBC + luas ABC = luas TAB + luas TAC + luas TBC + luas ABC = jumlah luas sisi tegak + luas alas A T T T C B 138 b Perhatikan limas segiempat di bawah ini ! Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, TC, dan TD maka kita peroleh jaring-jaring sebagai berikut Luas limas = luas TAB + luas TBC + luas TCD + luas TDA + luas ABCD = luas TAB + luas TBC + luas TCD + luas TDA + luas ABCD = jumlah luas sisi tegak + luas alas Dapatkah kamu menentukan luas untuk jenis limas yang lain? T T T T A C D B ............................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................... ........................................... 139 Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa apapun bentuk limasnya rumus luasnya dapat disimpulkan Sekarang perhatikan prisma di bawah ini ! Sumber Bagaimanakah menentukan luas limas segitiga dan limas segiempat ? luas limas = luas AEF + luas AED + luas AFD+luas DEF Luas limas = luas BEFC + luas AEF + luas ABE + luas ABC + luas ACF Luas limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas Untuk limas segitiga dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah segitiga AEF, AED, dan AFD. Sehingga, D A E F Untuk limas segiempat dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah segitiga AEF, ABE, ABC, ACF, dan segiempat BEFC. Sehingga, A B E F C 140 Contoh soal 1. Sebuah limas segiempat beraturan, rusuk-rusuknya alasnya 15 cm dan jarak dari puncak ke rusuk alas 20 cm. Tentukan luas limas tersebut ! Penyelesaian Luas limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas = 4 x 150 cm2 + 225 cm2 = 600 cm2 + 225 cm2 = 825 cm2 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian Menentukan luas limas L. limas = luas ABD + luas ACD + luas ABC + luas BCD Alas limas berbentuk persegi sehingga luas alas = sisi x sisi = 15 cm x 15 cm = 225 cm2 Luas segitiga = ½ x alas x tinggi = ½ x 15 cm x 20 cm = 150 cm2 Pada prisma di samping didalamnya terdapat dua buah limas. Jika alas limas berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan AB = AC = 8 cm, sedangkan tinggi prisma 6 cm. Apakah kedua limas tersebut? Tentukan luas limas yang memiliki alas ABC ! Dua buah limas yang terdapat prisma adalah limas dan 141  Untuk mencari luas segitiga ABC, perhatikan gambar di bawah ini ! AK2 = AC2 – KC2 = 82 cm – 242 cm = 64 cm – 32 cm AK2 = 32 cm AK = 32 cm = 24cm Sehingga luas segitiga ABC = ½ x BC x AK = ½ x 28x 24= ½ x 32 x4 = ½ x 32 x 2 = 32 cm2  Untuk mencari luas segitiga BCD, perhatikan gambar di bawah ini ! D C B A 8 cm 8 cm 8 cm Menggunakan tripel pythagoras BD = 10 cm CD = 10 cm Luas segitiga ABD = ½ x 6 cm x 8 cm = 24 cm2 Luas segitiga ACD = ½ x 6 cm x 8 cm = 24 cm2 6 cm A B C 8 cm BC= AB+ AC = 82 cm+ 82 cm = 64 cm + 64 cm = 128 cm BC = 28128 cm KC = ½ x BC = ½ x 28= 24cm K D B C DL= DC- LC = 102 cm - 242 cm = 100 cm - 32 cm = 68 cm DL = 17268 cm LC = ½ x DL = ½ x 172= 17cm 10 cm 10 cm 28cm L 142 Sehingga luas segitiga DBC = ½ x BC x LC = 28 cm x 17cm = 834cm2  Luas limas = luas ABD + luas ACD + luas ABC + luas BCD = 24 cm2 + 24 cm2 + 32 cm2 + 834cm2 = 80 + 834 cm2 Sifat-sifat yang dapat dibuktikan kebenarannya pada limas  Luas seluruh sisi tegak pada sebuah limas beraturan sama dengan setengah hasil kali apotema dan keliling bidang alas  Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan terpancung sama dengan setengah hasil kali apotema dengan jumlah keliling bidang atas dan bidang alasnya 143 2. Volume limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? MASALAH Pada kubus di samping didalamnya terdapat sebuah limas. Jika bagian alas dan ujung limas berhimpit pada sisi kubus, hitunglah a/. Volume limas tersebut ! b/. Volume kubus di luar limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 144 Perhatikan bangun kubus di bawah ini ! Gambar 9. Gambar di atas menunjukkan sebuah kubus yang memiliki rusuk a satuan panjang. Dalam kubus tersebut dibuat diagonal raung AG, BH, CE, an DF yang berpotongan di O. Ternyata diagonal-diagonal tersebut dapat membentuk 6 buah limas yang kongruen sama bentuk dan ukuran yaitu dan Dengan demikian, volume kubus adalah jumlah dari volume 6 buah limas tersebut, sehingga dapatdiperoleh Volume kubus = 6 x volume limas Volume limas = 61x Volume kubus = 61x s x s x s = 61x s x s x 22s= 62x s2x 2s= 31 x s2x 2sKarena s2 merupakan luas alas kubus dan 2s merupakan tinggi limas maka didapat Volume limas = 31 x s2x 2s=31x luas alas x tinggi G A B C D E F H O A B C D O t 145 Perhatikan prisma segitiga di bawah ini! Gambar di atas menunjukkan sebuah prisma segitiga dengan alas ABC dan atas/atap DEF, tinggi limas adalah AD = BE = CF. Jika prisma tersebut diiris dalam 3 bagian yang masing-masing merupakan limas, seperti berikut Perhatikan i limas dan limas keduanya memiliki luas alas dan tinggi yang sama, maka kedua limas memiliki volume yang sama. Luas alas yang sama tersebut adalah Luas ABC = Luas DEF Tinggi yang sama adalah CF = BE ii Limas dan limas memiliki luas yang sama, yaitu 146 Luas BDE = Luas ABD = ½ Luas persegi panjang ABED Tinggi masing-masing adalah jarak titik F ke bidang ABED. Karena segitiga BDE dan segitiga ABD masing-masing adalah bagian dari ABED maka jarak titik puncak F ke bidang BDE = jarak titik F ke bidang BDE = jarak ABD = jarang titik F ke bidang ABED. Karena limas dan limas mempunyai luas alas dan tinggi yang sama maka kedua limas mempunyai volume yang sama iii Dari pernyataan i dan ii dapat disimpulkan bahwa ketiga limas mempunyai volume yang sama, sehingga Volume limas segitiga = 31volume prisma segitiga = 31x luas alas x tinggi Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa Tugas di rumah Dapatkah kamu membuktikan untuk jenis limas yang lain? Misalnya limas segilima seperti gambar di bawahh ini. Jawab Volume Limas = 31 x luas alas x tinggi ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 147 Contoh soal 1. Sebuah limas yang memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 10 cm, sedangkan panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm. Hitunglah a/. Tinggi limas b/. Volume limas Penyelesaian Limas tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini a. Tinggi limas tinggi limas pada limas di atas adalah TF, dapat ditentukan dengan menggunakan teorema pythagoras TF2 = TE2 – FE2. Untuk mencari tinggi limas harus dicari terlebih di cari panjang TE, sedangkan FE = ½ AB = 4 cm. T A C B D F E 13 cm 8 cm 10 cm T C B E EC = ½ BC = 5 cm TE2 = TC2 – EC2 = 132 - 52 TE2 = 169 – 25 = 144 TE = 144 = 12 cm 148 Jadi, tinggi limas tersebut adalah 82cm b. Volume limas = 31x luas alas x tinggi Sehingga, volume limas = 31 x luas persegi panjang ABCD x TF = 31 x AB x BC x TF = 31 x 8 cm x 10 cm x 82cm = 36402cm3 Jadi, volume limas tersebut adalah 36402cm3 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian Untuk menentukan volume limas dapat diperoleh dengan menjumlahkan volume limas dan limas Diketahui sebuah kubus yang memiliki rusuk 8 cm. Tentukan volume limas ! T E F Sehingga tinggi limas adalah TF2 = TE2 – FE2 = 122 – 42 TF2 = 144 – 16 = 128 TF =128= 82cm 149  Volume limas = volume limas + volume limas Kedua limas tersebut memiliki alas dan tinggi yang sama, sehingga kita dapat menuliskan bahwa Volume limas = 2 x = 2 x 31x luas ABD x AE = 2 x 31x 21x AB x AD x AE = 31 x 8 x 8 x 8 = 3512cm3 D E C B A E B D 150 LIMAS Materi Prasayarat 1. Teorema Pythagoras 2. Segitiga dan Poligon 3. Luas Segitiga dan Luas Poligon 4. Kubus, Balok, dan Prisma A. Konsep Limas Pengantar Pernahkah kamu melihat gambar-gambar seperti ini? Menyerupai apakah gambar-gambar tersebut? Gambar 1. Dapatkah kamu memberikan contoh bangun ruang lain yang memiliki sifat-sifat seperti gambar diatas? Tuliskan contoh yang kamu dapatkan pada titik-titik di bawah ini ! 1. ............................................................. 2. ............................................................. 3. ............................................................. 4. ............................................................. 1. Definis Limas Gambar di atas adalah memiliki ciri yang sama yaitu ................................. Dalam dimensi tiga/bangun ruang bangun di atas disebut dengan limas. Dengan demikian dapatkah kamu menjelaskan apa itu limas ? Lampiran 151 Pemberian nama pada limas sama seperti pada prisma yaitu tergantung pada banyaknya sisi pada alas segi-n. Berikut ini beberapa contoh limas Limas segitiga Limas segiempat Limas segilima Gambar 2. 2. Unsur-unsur Limas Perhatikan limas berikut ! Gambar 3. Limas adalah........................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 152 Secara umum, unsur-unsur yang dimiliki oleh oleh sebuah limas sebagai berikut a Sisi/Bidang Perhatikan gambar limas di atas! Limas tersebut memiliki sisi alas yang berbentuk segiempat dan sisi tegak yang berbentuk segitiga, sebutkan apa sajakah sisi-sisi tersebut? .............................................................................................................................................................................................................................................................. b Rusuk Limas memiliki rusuk alas dan rusuk tegak. Ada berapa rusuk alas dan rusu tegak pada prisma tersebut ? Sebutkan pada titik-titik di bawah ini ! .............................................................................................................................................................................................................................................................. c Titik Sudut Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak titik yang letaknya di atas. Perhatikan limas pada gambar 1 dan gambar 2. Limas segitiga memiliki 4 titik sudur, limas segiempat memiliki 5 titik sudut, dan limas segilima memiliki 6 titik sudut. Dari uraian di atas dapatkah kalian membuat sebuah generalisasi ? Isilah kolom di bawah ini ! Jenis Limas Banyak sisi Banyak rusuk Banyak titik sudut Limas segi-3 4 6 4 Limas segi-4 ... 8 5 Limas segi-5 ... ... ... . . . . . . . . . . . . Limas segi-n ... ... ... Dari tabel di atas, kita dapat menemukan sebuah pola bahwa Banyak sisi = .............................. Banyak rusuk = .............................. Banyak titik sudut = .............................. 153 3. Jenis–Jenis Limas a. Berdasarkan bentuk alas limas dinamai limas segi-n Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ b. Berdasarkan keteraturan bidang alas dan kedudukan titik puncaknya, limas dibedakan menjadi limas beraturan dan limas sembarang 1 Limas beraturan adalah limas yang bentuk alasnya berbentuk segi-n beraturan, dan proyeksi titik puncaknya berada tepat ditengah bidang alas Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ 2 Limas sembarang memiliki bidang alas berbentuk segi-n yang tidak beraturan dan proyeksi titik puncaknya sembarang Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ c. Berdasarkan tingginya limas dibedakan menjadi limas tegak dan limas siku-siku 4. Jaring-jaring Limas Perhatikan jaring-jaring untuk limas segitiga di bawah ini, kemudian buatlah jaring-jaring untuk limas segiempat dan segilima untuk jenis limas yang diberikan ! a. Limas segitiga Gambar 4. 154 b. Limas segiempat 1 2 3 Gambar 5. c. Limas segilima 1 2 3 Gambar 6. B. Konsep Alas dan Tinggi Limas Gambar 7. Pada limas dan segitiga ABC dan segiempat ABCD adalah bidang alas dan tingginya adalah garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus ke bidang alas yaitu garis TO dan TR. O P R S 155 Demikian juga untuk limas dan limas Tentukanlah mana yang menjadi alas dan tinggi dari kedua limas tersebut ! ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Cobalah di Rumah ! Jawab Diketahui jaring-jaring limas segiempat dengan alas persegi, seperti gambar di samping. Dapatkah kamu menyebutkan tinggi limas tersebut? berikan alasanmu! Jika ya, apabila diberikan tinggi limas 12 cm dan panjang diagonal persegi 10 cm, berapakah panjangnya rusuk tegak ? ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 156 C. Konsep Luas dan Volume Limas 1. Luas Limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? MASALAH ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q, R, dan S berada di tengah-tengah rusuk. Kubus tersebut memuat prisma, dapatkah kamu menyebutkan prisma apa saja? Tentukanlah luas prisma-prisma tersebut ? S R P Q 157 Untuk menentukan luas limas perhatikan beberapa kasus untuk jenis limas segitiga dan segiempat berikut a Perhatikan limas segitiga di bawah ini ! Gambar 8. Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, dan TC, maka kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah ini. Isilah titik-titik sudut pada jaring-jaring limas sesuai dengan yang ada pada gambar 8. Dari jaring-jaring limas di atas, kita dapat menentukan luas limas sabagai apa? .................................................................................................................................... Luas limas = uas ........ + luas ........ + luas ...... = luas ........+ luas ........+ luas ........+ luas .. = jumlah ........................+ luas ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 158 b Perhatikan limas segiempat di bawah ini ! Gambar 9. Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, TC, dan TD maka kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah ini. Isilah titik-titik sudut pada jaring-jaring limas sesuai dengan yang ada pada gambar 9. Luas limas = = luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ = luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ = jumlah ................................+ luas ................ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 159 Dapatkah kamu menentukan luas permukaan untuk jenis limas yang lain? Seperti limas segilima, segienam, sampai dengan segi-n ? Dari penjelasan di atas dapatkah kamu simpulkan bahwa apapun bentuk limasnya, bagimanakah rumus luasnya? Sekarang perhatikan prisma di bawah ini ! Sumber Bagaimanakah menentukan luas limas segitiga dan limas segiempat ? Dengan demikian, apakah rumus luas untuk limas di atas ? ....................................................................................................... ....................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................ ...Untuk limas segitiga dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah .................... ........................................................D A E F 160 Dengan demikian, apakah rumus luas untuk limas di atas ? Contoh soal 1. Sebuah limas segiempat beraturan, rusuk-rusuknya alasnya 15 cm dan jarak dari puncak ke rusuk alas 20 cm. Tentukan luas limas tersebut ! Penyelesaian Luas limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas = 4 x 150 cm2 + 225 cm2 = 600 cm2 + 225 cm2 = 825 cm2 Untuk limas segiempat dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah ..................... ........................................................................................................................................................................................... A B E F C ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Alas limas berbentuk persegi sehingga luas alas = sisi x sisi = 15 cm x 15 cm = 225 cm2 Luas segitiga = ½ x alas x tinggi = ½ x 15 cm x 20 cm = 150 cm2 161 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian a 3 buah limas yang terdapat di dalam prisma adalah ......................................................................................................................... b Menentukan luas limas L. limas = luas ABD + luas ACD + luas ABC + luas BCD  Untuk mencari luas segitiga ABC, perhatikan gambar di bawah ini ! Pada prisma tegak di samping didalamnya terdapat 3 buah limas. Jika alas limas berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan AB = AC = 8 cm, sedangkan tinggi prisma 6 cm. a Apakah ketiga limas tersebut? b Tentukan luas limas yang memiliki alas ABC ! D C B A 8 cm 8 cm 8 cm Menggunakan tripel pythagoras BD = ........ cm CD = ........ cm  Luas segitiga ABD = .................................... = ....................................  Luas segitiga ACD = .................................... = .................................... 6 cm A B C 8 cm BC= ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. BC = ............................................................. KC = ............................................................. K 162 AK2 = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. AK2 = ............................................................. AK = ............................................................. Sehingga luas segitiga ABC = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. = .............................................................  Untuk mencari luas segitiga BCD, perhatikan gambar di bawah ini ! Sehingga luas segitiga ABC = .................................................... = .................................................... = ....................................................  Luas limas = ...................................................................................................... = ...................................................................................................... = ...................................................................................................... D B C DL = .................................................... = .................................................... = .................................................... = .................................................... DL = .................................................... LC = .................................................... = .................................................... 10 cm 10 cm 28cm L 163 Cobalah di Rumah ! Jawab Sifat-sifat yang dapat dibuktikan kebenarannya pada limas  Luas seluruh sisi tegak pada sebuah limas beraturan sama dengan setengah hasil kali apotema dan keliling bidang alas  Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan terpancung sama dengan setengah hasil kali apotema dengan jumlah keliling bidang atas dan bidang alasnya Diketahui 6 buah limas tegak terbentuk di dalam kubus dengan rusuk 6cm, seperti ditunjukkan seperti gambar di samping. Dapatkah kamu menentukan luas keenam limas tersebut? Jika dapat hitunglah ! ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 164 Latihan Mandiri 1. Berapakah luas dari suatu limas segitiga sama sisi yang semua rusuknya berukuran 6 cm ? 2. Alas sebuah limas segiempat beraturan berbentuk persegi. Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas limas tersebut ! 3. Diketahui sebuah limas seperti gambar di bawah ini Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm, dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 13 cm. a hitunglah luas limas tersebut ! b Jika alas limas dan rusuk-rusuk tegaknya diperpanjang dua kali, dapatkah kamu menentukan luasnya? Jika ya, berapakah selisih luas kedua limas tersebut ? 4. Perhatikan gambar prisma siku-siku sama kaki di bawah ini ! Prisma dibagi menjadi dua buah limas yaitu dan Jika luas alas prisma 18 cm2 dan tinggi prisma 6 cm, maka luas sisi-sisi tegak limas adalah 36+182cm2. Benar atau salah pernyataan tersebut? Berikan penjelasan atas jawabanmu dengan perhitungan luas sisi-sisi tegak ! 10 cm 13 cm A B C D F E 165 2. Volume limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? MASALAH Pada kubus di samping didalamnya terdapat sebuah limas. Jika bagian alas dan ujung limas berhimpit pada sisi kubus, hitunglah a/. Volume limas tersebut ! b/. Volume kubus di luar limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q, R, dan S berada di tengah-tengah rusuk. Kubus tersebut memuat prisma, dapatkah kamu menyebutkan menentukan volume prisma Jika ya hitunglah ! S R P Q 166 Masalah di atas sangat berguna bagi kalian untuk mempelajari bagaimana menentukan volume limas, terutama untuk beberapa kasus yang tidak sederhana. a Perhatikan bangun kubus di bawah ini ! Gambar 10. Gambar di atas menunjukkan sebuah kubus yang memiliki rusuk a satuan panjang. Dalam kubus tersebut dibuat diagonal raung AG, BH, CE, an DF yang berpotongan di O. Ternyata diagonal-diagonal tersebut dapat membentuk 6 buah limas yang kongruen sama bentuk dan ukuran yaitu dan Dengan demikian, volume kubus adalah jumlah dari volume 6 buah limas tersebut, sehingga dapat di peroleh Volume kubus = 6 x volume limas Volume limas = 61 x Volume kubus Uraikan volume limas tersebut melalui volume kubus dengan rusuk s pada titik-titik di bawah ini ! G A B C D E F H O A B C D O t .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 167 Dengan demikian, apa yang dapat kamu simpulkan tentang volume limas dari uraian di atas ? Volume limas ................ = 31 x.......2x .................=31x ............. x .................... b Perhatikan prisma segitiga di bawah ini! Gambar 11. Gambar di atas menunjukkan sebuah prisma segitiga dengan alas ABC dan atas/atap DEF, tinggi limas adalah AD = BE = CF. Jika prisma tersebut diiris dalam 3 bagian yang masing-masing merupakan limas, seperti berikut ....................................................................................................... ....................................................................................................... 168 Perhatikan ! i limas dan limas keduanya memiliki luas alas dan tinggi yang sama, maka kedua limas memiliki volume yang sama. Luas alas yang sama tersebut adalah Luas ABC = Luas DEF Tinggi yang sama adalah CF = BE ii Limas dan limas memiliki luas yang sama, yaitu Luas BDE = Luas ABD = ½ Luas persegi panjang ABED Tinggi masing-masing adalah jarak titik F ke bidang ABED. Karena segitiga BDE dan segitiga ABD masing-masing adalah bagian dari ABED maka jarak titik puncak F ke bidang BDE = jarak titik F ke bidang BDE = jarak ABD = jarang titik F ke bidang ABED Karena limas dan limas mempunyai luas alas dan tinggi yang sama, sehingga apa yang dapat kita simpulkan ? .......................................................................................................................................................................................................................................................... iii Dari pernyataan i dan ii, apakah yang dapat kita simpulkan berkaitan dengan volume limas segitiga di atas ? Volume limas segitiga = = 31x luas alas x tinggi Dari penjelasan tentang menentukan volume limas dari kubus dan volume limas dari prisma di atas, apakah yang dapat kamu simpulkan mengenai volume dari limas ? ................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 169 Tugas di rumah Dapatkah kamu membuktikan untuk jenis limas yang lain? Misalnya limas segilima seperti gambar di bawah ini. Selanjutnya cobalah untuk jenis limas segienam, segidelapan, sampai dengan segi-n ! Jawab Contoh soal 1. Sebuah limas yang memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 10 cm, sedangkan panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm. Hitunglah a/. Tinggi limas b/. Volume limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 170 Penyelesaian Limas tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini a. Tinggi limas tinggi limas pada limas di atas adalah TF, dapat ditentukan dengan menggunakan teorema pythagoras TF2 = TE2 – FE2. Untuk mencari tinggi limas harus dicari terlebih di cari panjang TE, sedangkan FE = ½ AB = 4 cm. Jadi, tinggi limas tersebut adalah 82cm T A C B D F E T E F 13 cm 8 cm 10 cm Sehingga tinggi limas adalah TF2 = TE2 – FE2 = 122 – 42 TF2 = 144 – 16 = 128 TF =128= 82cm T C B E EC = ½ BC = 5 cm TE2 = TC2 – EC2 = 132 - 52 TE2 = 169 – 25 = 144 TE = 144 = 12 cm 171 b. Volume limas = 31x luas alas x tinggi Sehingga, volume limas = 31 x luas persegi panjang ABCD x TF = 31 x AB x BC x TF = 31 x 8 cm x 10 cm x 82cm = 36402cm3 Jadi, volume limas tersebut adalah 36402cm3 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian Untuk menentukan volume limas dapat diperoleh dengan menjumlahkan volume limas dan limas  Volume limas = .................................................................................... Kedua limas tersebut memiliki alas dan tinggi yang sama, sehingga kita dapat menuliskan bahwa Diketahui sebuah kubus yang memiliki rusuk 8 cm. Hitunglah volume limas ! D E C B A E B D 172 Volume limas = ................................................................................. =.................................................................................=................................................................................. =.................................................................................= ................................................................................. Cobalah ! Jawab Pada kubus di samping didalamnya terdapat sebuah limas. Jika bagian alas dan ujung limas berhimpit pada sisi kubus, hitunglah a/. Volume limas tersebut ! b/. Volume kubus di luar limas ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 173 Latihan Mandiri 1. Berapakah volume dari suatu limas persegi yang semua rusuknya berukuran 6 cm ? 2. Sebuah limas memiliki alasnya berbentuk persegi panjang dengan panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi limas adalah t cm. Jika masing-masing ukuran panjang dan lebar diperbesar dua kali sedangkan tinggi limas diperpanjang 3 cm, terbentuklah limas yang kedua. Dapatkah kamu menentukan volume kedua limas tersebut? Jika ya, hitunglah ! 3. Sebuah limas seperti gambar di bawah ini Jika limas di atas alasnya berbentuk persegi dengan panjang rusuknya 10 cm dan tinggi sisi tegaknya 13 cm, sedangkan titik E berada di tengah-tengah tinggi limas. a Tentukan volume limas dan limas b Dapatkah kamu menentukan volume bangun ruang BCSE? Berikan penjelasan berkaitan dengan jawabanmu ! 4. Tiga buah benda berbentuk limas dimasukkan ke dalam bak mandi berbentuk balok yang berisi penuh air sebanyak 100 liter, sehingga sebagian air didalam bak mandi tumpah. Jika limas mempunyai tinggi 50 cm dan alas berbentuk persegi dengan rusuk 40 cm. Perkirakan volume air yang tersisa di dalam bak mandi ! S A B C D E 174 LIMAS Materi Prasayarat 1. Teorema Pythagoras 2. Segitiga dan Poligon 3. Luas Segitiga dan Luas Poligon 4. Kubus, Balok, dan Prisma A. Konsep Limas Pengantar Pernahkah kamu melihat gambar-gambar seperti ini? Menyerupai apakah gambar-gambar tersebut? Gambar 1. Dapatkah kamu memberikan contoh bangun ruang lain yang memiliki sifat-sifat seperti gambar diatas? Tuliskan contoh yang kamu dapatkan pada titik-titik di bawah ini ! 1. ............................................................. 2. ............................................................. 3. ............................................................. 4. ............................................................. 1. Definis Limas Gambar di atas adalah memiliki ciri yang sama yaitu ................................. Dalam dimensi tiga/bangun ruang bangun di atas disebut dengan limas. Dengan demikian dapatkah kamu menjelaskan apa itu limas ? Lampiran 175 Pemberian nama pada limas sama seperti pada prisma yaitu tergantung pada banyaknya sisi pada alas segi-n. Berikut ini beberapa contoh limas Gambar 2. 2. Unsur-unsur Limas Perhatikan limas berikut ! Gambar 3. Limas adalah........................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 176 Secara umum, unsur-unsur yang dimiliki oleh oleh sebuah limas sebagai berikut a Sisi/Bidang Perhatikan gambar limas di atas! Limas tersebut memiliki sisi alas yang berbentuk segiempat dan sisi tegak yang berbentuk segitiga, sebutkan apa sajakah sisi-sisi tersebut? .............................................................................................................................................................................................................................................................. b Rusuk Limas memiliki rusuk alas dan rusuk tegak. Ada berapa rusuk alas dan rusu tegak pada prisma tersebut ? Sebutkan pada titik-titik di bawah ini ! .............................................................................................................................................................................................................................................................. c Titik Sudut Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Setiap limas memiliki titik puncak titik yang letaknya di atas. Perhatikan limas pada gambar 1 dan gambar 2. Limas segitiga memiliki 4 titik sudur, limas segiempat memiliki 5 titik sudut, dan limas segilima memiliki 6 titik sudut. Dari uraian di atas dapatkah kalian membuat sebuah generalisasi ? Isilah kolom di bawah ini ! Dari tabel di atas, kita dapat menemukan sebuah pola bahwa Banyak sisi = .............................. Banyak rusuk = .............................. Banyak titik sudut = .............................. 177 3. Jenis–Jenis Limas a. Berdasarkan bentuk alas limas dinamai limas segi-n Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ b. Berdasarkan keteraturan bidang alas dan kedudukan titik puncaknya, limas dibedakan menjadi limas beraturan dan limas sembarang 1 Limas beraturan adalah limas yang bentuk alasnya berbentuk segi-n beraturan, dan proyeksi titik puncaknya berada tepat ditengah bidang alas Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ 2 Limas sembarang memiliki bidang alas berbentuk segi-n yang tidak beraturan dan proyeksi titik puncaknya sembarang Contoh .................................................................................................... ................................................................................................................ c. Berdasarkan tingginya limas dibedakan menjadi limas tegak dan limas siku-siku 4. Jaring-jaring Limas Perhatikan jaring-jaring untuk limas segitiga di bawah ini, kemudian buatlah jaring-jaring untuk limas segiempat dan segilima untuk jenis limas yang diberikan ! a. Limas segitiga Gambar 4. 178 b. Limas segiempat 1 2 3 Gambar 5. c. Limas segilima 1 2 3 Gambar 6. B. Konsep Alas dan Tinggi Limas Gambar 7. Pada limas dan segitiga ABC dan segiempat ABCD adalah bidang alas dan tingginya adalah garis yang ditarik dari titik T dan tegak lurus ke bidang alas yaitu garis TO dan TR. 179 Demikian juga untuk limas dan limas Tentukanlah mana yang menjadi alas dan tinggi dari kedua limas tersebut ! ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Cobalah di Rumah ! Jawab Diketahui jaring-jaring limas segiempat dengan alas persegi, seperti gambar di samping. Dapatkah kamu menyebutkan tinggi limas tersebut? berikan alasanmu! Jika ya, apabila diberikan tinggi limas 12 cm dan panjang diagonal persegi 10 cm, berapakah panjangnya rusuk tegak ? ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 180 C. Konsep Luas dan Volume Limas 1. Luas Limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q, R, dan S berada di tengah-tengah rusuk. Kubus tersebut memuat prisma, dapatkah kamu menyebutkan prisma apa saja? Tentukanlah luas prisma-prisma tersebut ? 181 Untuk menentukan luas limas perhatikan beberapa kasus untuk jenis limas segitiga dan segiempat berikut a Perhatikan limas segitiga di bawah ini ! Gambar 8. Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, dan TC, maka kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah ini. Isilah titik-titik sudut pada jaring-jaring limas sesuai dengan yang ada pada gambar 8. Dari jaring-jaring limas di atas, kita dapat menentukan luas limas sabagai apa? .................................................................................................................................... Luas limas = uas ........ + luas ........ + luas ...... = luas ........+ luas ........+ luas ........+ luas .. = jumlah ........................+ luas ........ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 182 b Perhatikan limas segiempat di bawah ini ! Gambar 9. Jika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, TC, dan TD maka kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah ini. Isilah titik-titik sudut pada jaring-jaring limas sesuai dengan yang ada pada gambar 9. Luas limas = = luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ = luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ + luas ........ = jumlah ................................+ luas ................ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 183 Dapatkah kamu menentukan luas permukaan untuk jenis limas yang lain? Seperti limas segilima, segienam, sampai dengan segi-n ? Dari penjelasan di atas dapatkah kamu simpulkan bahwa apapun bentuk limasnya, bagimanakah rumus luasnya? Sekarang perhatikan prisma di bawah ini ! Sumber Bagaimanakah menentukan luas limas segitiga dan limas segiempat ? Dengan demikian, apakah rumus luas untuk limas di atas ? ....................................................................................................... ....................................................................................................... ............................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................ .... Untuk limas segitiga dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah .................... ......................................................... 184 Dengan demikian, apakah rumus luas untuk limas di atas ? Contoh soal 1. Sebuah limas segiempat beraturan, rusuk-rusuknya alasnya 15 cm dan jarak dari puncak ke rusuk alas 20 cm. Tentukan luas limas tersebut ! Penyelesaian Luas limas = jumlah luas sisi tegak + luas alas = 4 x 150 cm2 + 225 cm2 = 600 cm2 + 225 cm2 = 825 cm2 Untuk limas segiempat dapat kita lihat bidang-bidang yang membatasinya adalah ..................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... Alas limas berbentuk persegi sehingga luas alas = sisi x sisi = 15 cm x 15 cm = 225 cm2 Luas segitiga = ½ x alas x tinggi = ½ x 15 cm x 20 cm = 150 cm2 185 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian a 3 buah limas yang terdapat di dalam prisma adalah ......................................................................................................................... b Menentukan luas limas L. limas = luas ABD + luas ACD + luas ABC + luas BCD  Untuk mencari luas segitiga ABC, perhatikan gambar di bawah ini ! Pada prisma tegak di samping didalamnya terdapat 3 buah limas. Jika alas limas berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan AB = AC = 8 cm, sedangkan tinggi prisma 6 cm. a Apakah ketiga limas tersebut? b Tentukan luas limas yang memiliki alas ABC ! Menggunakan tripel pythagoras BD = ........ cm CD = ........ cm  Luas segitiga ABD = .................................... = ....................................  Luas segitiga ACD = .................................... = .................................... BC2 = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. BC = ............................................................. KC = ............................................................. 186 AK2 = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. AK2 = ............................................................. AK = ............................................................. Sehingga luas segitiga ABC = ............................................................. = ............................................................. = ............................................................. = .............................................................  Untuk mencari luas segitiga BCD, perhatikan gambar di bawah ini ! Sehingga luas segitiga ABC = .................................................... = .................................................... = ....................................................  Luas limas = ...................................................................................................... = ...................................................................................................... = ...................................................................................................... DL2 = .................................................... = .................................................... = .................................................... = .................................................... DL = .................................................... LC = .................................................... = .................................................... = ........cm 187 Cobalah di Rumah ! Jawab Sifat-sifat yang dapat dibuktikan kebenarannya pada limas  Luas seluruh sisi tegak pada sebuah limas beraturan sama dengan setengah hasil kali apotema dan keliling bidang alas  Luas seluruh sisi tegak sebuah limas beraturan terpancung sama dengan setengah hasil kali apotema dengan jumlah keliling bidang atas dan bidang alasnya Diketahui 6 buah limas tegak terbentuk di dalam kubus dengan rusuk 6cm, seperti ditunjukkan seperti gambar di samping. Dapatkah kamu menentukan luas keenam limas tersebut? Jika dapat hitunglah ! ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 188 Latihan Mandiri 1. Berapakah luas dari suatu limas segitiga sama sisi yang semua rusuknya berukuran 6 cm ? 2. Alas sebuah limas segiempat beraturan berbentuk persegi. Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas limas tersebut ! 3. Diketahui sebuah limas seperti gambar di bawah ini Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm, dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 13 cm. a hitunglah luas limas tersebut ! b Jika alas limas dan rusuk-rusuk tegaknya diperpanjang dua kali, dapatkah kamu menentukan luasnya? Jika ya, berapakah selisih luas kedua limas tersebut ? 4. Perhatikan gambar prisma siku-siku sama kaki di bawah ini ! Prisma dibagi menjadi dua buah limas yaitu dan Jika luas alas prisma 18 cm2 dan tinggi prisma 6 cm, maka luas sisi-sisi tegak limas adalah 36+18cm2. Benar atau salah pernyataan tersebut? Berikan penjelasan atas jawabanmu dengan perhitungan luas sisi-sisi tegak ! 189 2. Volume limas Jawab Bagaimana soal di atas? Apakah kamu dapat mengerjakan atau menemukan kesulitan ? Pada kubus di samping didalamnya terdapat sebuah limas. Jika bagian alas dan ujung limas berhimpit pada sisi kubus, hitunglah a/. Volume limas tersebut ! b/. Volume kubus di luar limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ Diketahui sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Titik P, Q, R, dan S berada di tengah-tengah rusuk. Kubus tersebut memuat prisma, dapatkah kamu menyebutkan menentukan volume prisma Jika ya hitunglah ! 190 Masalah di atas sangat berguna bagi kalian untuk mempelajari bagaimana menentukan volume limas, terutama untuk beberapa kasus yang tidak sederhana. a Perhatikan bangun kubus di bawah ini ! Gambar 10. Gambar di atas menunjukkan sebuah kubus yang memiliki rusuk a satuan panjang. Dalam kubus tersebut dibuat diagonal raung AG, BH, CE, an DF yang berpotongan di O. Ternyata diagonal-diagonal tersebut dapat membentuk 6 buah limas yang kongruen sama bentuk dan ukuran yaitu dan Dengan demikian, volume kubus adalah jumlah dari volume 6 buah limas tersebut, sehingga dapat di peroleh Volume kubus = 6 x volume limas Volume limas = x Volume kubus Uraikan volume limas tersebut melalui volume kubus dengan rusuk s pada titik-titik di bawah ini ! .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 191 Dengan demikian, apa yang dapat kamu simpulkan tentang volume limas dari uraian di atas ? Volume limas ................ = x.......x =x ............. x .................... b Perhatikan prisma segitiga di bawah ini! Gambar 11. Gambar di atas menunjukkan sebuah prisma segitiga dengan alas ABC dan atas/atap DEF, tinggi limas adalah AD = BE = CF. Jika prisma tersebut diiris dalam 3 bagian yang masing-masing merupakan limas, seperti berikut ....................................................................................................... ....................................................................................................... 192 Perhatikan ! i limas dan limas keduanya memiliki luas alas dan tinggi yang sama, maka kedua limas memiliki volume yang sama. Luas alas yang sama tersebut adalah Luas ABC = Luas DEF Tinggi yang sama adalah CF = BE ii Limas dan limas memiliki luas yang sama, yaitu Luas BDE = Luas ABD = ½ Luas persegi panjang ABED Tinggi masing-masing adalah jarak titik F ke bidang ABED. Karena segitiga BDE dan segitiga ABD masing-masing adalah bagian dari ABED maka jarak titik puncak F ke bidang BDE = jarak titik F ke bidang BDE = jarak ABD = jarang titik F ke bidang ABED Karena limas dan limas mempunyai luas alas dan tinggi yang sama, sehingga apa yang dapat kita simpulkan ? .......................................................................................................................................................................................................................................................... iii Dari pernyataan i dan ii, apakah yang dapat kita simpulkan berkaitan dengan volume limas segitiga di atas ? Volume limas segitiga = = x luas alas x tinggi Dari penjelasan tentang menentukan volume limas dari kubus dan volume limas dari prisma di atas, apakah yang dapat kamu simpulkan mengenai volume dari limas ? ................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 193 Tugas di rumah Dapatkah kamu membuktikan untuk jenis limas yang lain? Misalnya limas segilima seperti gambar di bawah ini. Selanjutnya cobalah untuk jenis limas segienam, segidelapan, sampai dengan segi-n ! Jawab Contoh soal 1. Sebuah limas yang memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 10 cm, sedangkan panjang rusuk tegaknya adalah 13 cm. Hitunglah a/. Tinggi limas b/. Volume limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 194 Penyelesaian Limas tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini a. Tinggi limas tinggi limas pada limas di atas adalah TF, dapat ditentukan dengan menggunakan teorema pythagoras TF2 = TE2 – FE2. Untuk mencari tinggi limas harus dicari terlebih di cari panjang TE, sedangkan FE = ½ AB = 4 cm. Jadi, tinggi limas tersebut adalah 8cm Sehingga tinggi limas adalah TF2 = TE2 – FE2 = 122 – 42 TF2 = 144 – 16 = 128 TF =EC = ½ BC = 5 cm TE2 = TC2 – EC2 = 132 - 52 TE2 = 169 – 25 = 144 TE = 195 b. Volume limas = x luas alas x tinggi Sehingga, volume limas = x luas persegi panjang ABCD x TF = x AB x BC x TF = x 8 cm x 10 cm x 8cm = cm3 Jadi, volume limas tersebut adalah cm3 2. Perhatikan gambar di bawah ini ! Penyelesaian Untuk menentukan volume limas dapat diperoleh dengan menjumlahkan volume limas dan limas  Volume limas = .................................................................................... Kedua limas tersebut memiliki alas dan tinggi yang sama, sehingga kita dapat menuliskan bahwa Diketahui sebuah kubus yang memiliki rusuk 8 cm. Hitunglah volume limas ! 196 Volume limas = ................................................................................. =.................................................................................=................................................................................. =.................................................................................= ................................................................................. Cobalah ! Jawab Pada kubus di samping didalamnya terdapat sebuah limas. Jika bagian alas dan ujung limas berhimpit pada sisi kubus, hitunglah a/. Volume limas tersebut ! b/. Volume kubus di luar limas ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 197 Latihan Mandiri 1. Berapakah volume dari suatu limas persegi yang semua rusuknya berukuran 6 cm ? 2. Sebuah limas memiliki alasnya berbentuk persegi panjang dengan panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi limas adalah t cm. Jika masing-masing ukuran panjang dan lebar diperbesar dua kali sedangkan tinggi limas diperpanjang 3 cm, terbentuklah limas yang kedua. Dapatkah kamu menentukan volume kedua limas tersebut? Jika ya, hitunglah ! 3. Sebuah limas seperti gambar di bawah ini Jika limas di atas alasnya berbentuk persegi dengan panjang rusuknya 10 cm dan tinggi sisi tegaknya 13 cm, sedangkan titik E berada di tengah-tengah tinggi limas. a Tentukan volume limas dan limas b Dapatkah kamu menentukan volume bangun ruang BCSE? Berikan penjelasan berkaitan dengan jawabanmu ! 4. Tiga buah benda berbentuk limas dimasukkan ke dalam bak mandi berbentuk balok yang berisi penuh air sebanyak 100 liter, sehingga sebagian air didalam bak mandi tumpah. Jika limas mempunyai tinggi 50 cm dan alas berbentuk persegi dengan rusuk 40 cm. Perkirakan volume air yang tersisa di dalam bak mandi ! ResearchGate has not been able to resolve any citations for this kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah iniTa Jika Dipotong Menurut Rusuk-RusukJika dipotong menurut rusuk-rusuk TA, TB, dan TC, maka kita peroleh jaring-jaring limas di atas seperti gambar di bawah ini. Isilah titik-titik sudut pada jaring-jaring limas sesuai dengan yang ada pada gambar sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm, dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 13 cm. a hitunglah luas limas tersebut ! b Jika alas limas dan rusuk-rusuk tegaknya diperpanjang dua kali, dapatkah kamu menentukan luasnya? Jika yaDiketahuiDiketahui sebuah limas seperti gambar di bawah ini Alas sebuah limas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm, dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 13 cm. a hitunglah luas limas tersebut ! b Jika alas limas dan rusuk-rusuk tegaknya diperpanjang dua kali, dapatkah kamu menentukan luasnya? Jika ya, berapakah selisih luas kedua limas tersebut ?KLMN alasnya berbentuk persegi panjang dengan panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi limas adalah t cm. Jika masing-masing ukuran panjang dan lebar diperbesar dua kali sedangkan tinggi limas diperpanjang 3 cm, terbentuklah limas yang keduaSebuahSebuah limas memiliki alasnya berbentuk persegi panjang dengan panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi limas adalah t cm. Jika masing-masing ukuran panjang dan lebar diperbesar dua kali sedangkan tinggi limas diperpanjang 3 cm, terbentuklah limas yang kedua. Dapatkah kamu menentukan volume kedua limas tersebut? Jika ya, hitunglah !

perhatikan limas t abcd di samping